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0  前言

在影響零件加工精度的因素中，機床熱誤差是影響加工精度的主要原因之一，在精密機床加工中由于熱因素造成的加工誤差可以占到60% ～70%。為降低或消除機床熱誤差對加工精度的影響，科研人員進行了大量廣泛深入的研究，目前主要有兩種減小熱誤差的途徑：硬件消除法和軟件補償法。硬件消除法主要是通過熱結(jié)構(gòu)對稱設(shè)計、預拉伸和采用低熱膨脹系數(shù)的材料來實現(xiàn)，硬件消除法缺點是成本較高。軟件補償法是通過建立能夠反映機床溫度與熱誤差關(guān)系的數(shù)學模型，在補償時用模型產(chǎn)生的預測值來抵消機床因溫度變化產(chǎn)生的誤差，以此達到消除熱誤差的目的。軟件補償法的優(yōu)點是，實現(xiàn)成本較低且無須對現(xiàn)有機床進行大的改造，應(yīng)用簡便易于推廣。軟件補償法的關(guān)鍵是建立能夠準確反映機床溫度與誤差之間的數(shù)學模型，這也是目前熱誤差補償研究工作的熱點和難點。補償模型分為離線靜態(tài)模型和在線動態(tài)實時模型，常見靜態(tài)補償模型如：多元統(tǒng)計回歸、最小二乘支持向量機、灰色系統(tǒng)理論、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等。如果機床使用環(huán)境和建模環(huán)境相近，靜態(tài)熱誤差模型能夠取得較好的預測效果，但是當機床使用環(huán)境和建模環(huán)境相差比較大或環(huán)境溫度和工況變化比較大時，模型預測精度會嚴重受到影響。為了提高熱誤差補償模型的精度和適應(yīng)能力，研究者提出了實時在線動態(tài)補償模型，在線模型能夠根據(jù)加工狀況、環(huán)境溫度等的變化實時調(diào)整模型參數(shù)，使模型能跟蹤機床熱誤差的變化，所以在線動態(tài)模型具有更高的預測精度和適應(yīng)能力。

以上建模方法為熱誤差補償提供了有力工具，且在試驗中取得了良好效果。機床部件受熱不僅會產(chǎn)生熱膨脹伸長，還會產(chǎn)生彎曲變形。如絲杠螺母在傳動過程中由于摩擦作用產(chǎn)生熱，文獻分析了絲杠熱彈性效應(yīng)導致對工作臺縱向定位精度的影響。文獻提出一種幾何誤差和熱誤差建模方法，對熱誤差分離后，建立了不同位置不同溫度下的熱誤差補償模型，提高了工作臺定位精度。實際工作中絲杠螺母摩擦熱一部分傳入絲杠，還有一部分傳入工作臺，傳入工作臺的這部分熱，分布不均勻?qū)е鹿ぷ髋_熱變形?，F(xiàn)有文獻在熱誤差建模時對工作臺熱變形考慮較少，本文在三坐標銑床上通過試驗發(fā)現(xiàn)絲杠螺母傳入工作臺的熱導致工作臺兩側(cè)產(chǎn)生翹曲，為了對工作臺熱變形造成的熱誤差進行補償，先建立工作臺不同位置熱誤差模型，再對工作臺各點模型預測值進行分段擬合，實現(xiàn)對工作臺任意位置的熱誤差預測。為了增加模型的預測精度和適應(yīng)能力，通過聚類分析和逐步回歸尋找最佳測溫點，采用粒子群優(yōu)化實時辨識動態(tài)模型參數(shù)，提高了模型魯棒性和預測精度。

1  溫度測點的選取及建模方法

在選取溫度測點時認為不同位置溫度點只要溫度變化規(guī)律相似，對熱誤差模型的作用就相似，在建模時可以從相似的測點中選取一個作為代表變量，機床熱誤差模型可以用幾個關(guān)鍵的溫度點來表征?；谏鲜黾僭O(shè)，可以在機床上布置大量傳感器，然后根據(jù)每點的溫度變化規(guī)律進行分類，再從每個分類中選取一個溫度變量進行熱誤差建模。這樣就減小了溫度測點選取的盲目性，且能利用較少的溫度變量建立熱誤差模型。本研究先用聚類分析方法對溫度變量進行分類，再利用逐步回歸選取與熱誤差變化最相關(guān)的溫度測點，然后根據(jù)選取的測點作為輸入變量，建立差分熱誤差模型。

1.1  溫度測點的選取方法

(1)聚類分析方法。聚類分析是一種分類方法，它能將一批樣品或變量，按照它們在某種評定標準上的相似程度或遠近進行分類，目的是使同類內(nèi)對象的同質(zhì)性最大和類與類之間的對象差異性最大。為了對樣品(變量)進行分類，一般采用兩種方法：①相似系數(shù)法，性質(zhì)越相似或越接近的它們相似系數(shù)為1，彼此無關(guān)的相似系數(shù)接近0，相似的樣品(變量)歸為一類；② 距離法，把樣品看做空間中的一個點，然后定義距離，距離近的點歸為一類。常用的分類方法有5種：即最短距離法、最長距離法、類平均法、重心法、離差平方和法。

這5種聚類法的計算步驟一樣，不同的是距離的定義方法，當采用歐氏距離時5種方法有統(tǒng)一的遞推公式中，

Dkr表示類Gk與類Gr之間的距離，
Gr是Gq和Gp合并后形成的新類。
αp，αq， β， γ對不同方法有不同的取值，具體取值參見文獻。采用系統(tǒng)聚類法進行分類的流程如圖1所示。

(2)逐步回歸原理。逐步回歸原理是在建立因變量和自變量回歸模型時，自變量逐次引入，每引入一個自變量，對進入的變量進行逐個檢驗，當原引入的變量由于后面變量的進入而變得不再顯著時，就將其剔除。引入或剔除一個變量稱為逐步回歸的一步，每步都要進行F 檢驗，以確保新引入變量前，回歸方程中只包含顯著地變量。這個過程反復進行，直到既無新的變量進入回歸方程也無變量可剔除，計算停止得到逐步回歸下的最優(yōu)方程。

1.2  建模原理

(1)差分方程模型。差分方程輸出值不僅與當前的輸入值有關(guān)還和歷史輸入有關(guān)，而熱誤差的變化也與歷史熱輸入大小有關(guān)，因此采用差分結(jié)構(gòu)描述熱膨脹更符合其物理意義。差分方程建模屬于動態(tài)建模，差分方程形式如式(2)所示

式中，
k 表示采樣時刻；
a, b 為方程系數(shù)；
n 為差分方程的階次；
E(k), T(K)分別為系統(tǒng)的輸出和輸入序列。

(2)模型參數(shù)實時辨識方法。采用粒子群優(yōu)化算法，根據(jù)實時反饋的溫度和熱誤差數(shù)據(jù)對模型參數(shù)進行辨識。

基于粒子群優(yōu)化算法辨識原理：粒子群優(yōu)化算法(Particle swarm optimization, PSO)是一種群體優(yōu)化算法，來源于人工生命和演化計算理論?；驹砣缦拢呵蠼鈫栴}時，每個粒子都隨機設(shè)置初始位置和初始速度，初始位置表示在解空間中的一組解，速度表示搜索解空間的快慢。如在D 維空間中搜索，每個粒子就可以用D 維矢量表示，第i 個粒子的位置表示為x=(xi1，xi2，…，xiD)，速度表示為vi= (vi1，vi2，…，viD)。每個粒子適應(yīng)度的優(yōu)劣由適應(yīng)度函數(shù)F 評價，粒子經(jīng)過一次迭代，搜索到的個體最優(yōu)值： pi= (pi1，pi2，…，piD)，群體最優(yōu)值：pg = (pg1，pg2，…，pgD)，然后再跟據(jù)式(3)更新粒子位置和速度

式中，
i=1，2，…，N；
d=1，2，…，D；
c1 和c2是非負常數(shù)；
r1和r2是介于[0,1]的隨機數(shù)；
vid ∈[vmax，vmax ]， vmax為粒子最大速度；
t為當前迭代次數(shù)。
PSO算法流程圖如圖2所示。PSO算法進行系統(tǒng)辨識，可以看成是一優(yōu)化過程，適應(yīng)度函數(shù)取如下

式中，y0(t)為實際系統(tǒng)輸出；
y(t)為模型輸出，min為取適應(yīng)度函數(shù)的最小值。
PSO 算法進行系統(tǒng)辨識是使一組粒子作為模型參數(shù)，使式(4)取得最小值，對應(yīng)的這組粒子就是待求模型參數(shù)。

2  熱誤差試驗

2.1  試驗安排

本試驗以三坐標銑床工作臺為研究對象，x 軸以指令G00快速移動時，測量在工作臺長度方向最左、中、最右三個點縱向熱變形(工作臺尺寸：長900 mm，寬410 mm)。傳感器安裝如圖3所示，T1放置在絲杠螺母附近；T2，T3 放置在伺服電機減速器上；T4放置在絲杠軸承座上；T5，T6放置在工作臺中間；T7測量環(huán)境溫度。電渦流位移傳感器分別安裝在工作臺最左、中、最右三個位置。工作臺x軸行程0～500 mm；往復移動速度(以指令G00快速運行)；第一個升溫階段快速運行2.5h，停止2.5h；第二個升溫階段運行(第一階段速度的70%)2.5h，停止2.5 h；每隔5 min 對測點溫度和熱誤差進行一次采樣。工作臺運行1h后的絲杠螺母和工作臺的紅外圖像如圖4、5所示；溫度和熱誤差測量數(shù)據(jù)如圖6、7 所示。

圖4、5 表明，工作臺運動時絲杠螺母處溫度比較高，局部可以達到40℃，由此傳入工作臺使工作臺表面中間部位溫度高，兩側(cè)溫度低，工作臺上表面最高溫度27 ℃，說明從絲杠螺母處到工作臺上表面存在溫度梯度。

2.2  試驗結(jié)果定性分析

試驗測量的溫度和熱誤差曲線圖6、7所示。從圖6和圖7看出，當測點溫度隨機床工作狀態(tài)變化時，工作臺縱向誤差也隨之發(fā)生改變，而且工作臺兩側(cè)和中間熱誤差變形量不同，也就是說工作臺熱變形后呈“凹狀”。根據(jù)這一現(xiàn)象，對機床縱向加工誤差進行補償時，不能采取固定值，而應(yīng)該隨著工作臺的位置不同而采取不同的補償量使之適應(yīng)工作臺面隨溫度和位置的變化。整個工作臺隨著受熱變形規(guī)律及變形量可由圖8表示。從圖8中看出工作臺在熱變形時，兩側(cè)的熱變形量要大于中間的熱膨脹量且兩側(cè)變形速度大于中間位置，導致工作臺兩側(cè)翹曲，使臺面呈凹狀。

為了驗證工作臺在連續(xù)往復工作時由于熱變形呈“凹狀”這一現(xiàn)象是否符合物理原理，采用有限元法進行驗證(由于有限元仿真邊界條件不可能完全符合實際工作條件，仿真數(shù)據(jù)可能和實測數(shù)據(jù)有差異，但是結(jié)果能夠反映該變化的趨勢，所以可以利用有限元法進行驗證這種現(xiàn)象)，如圖9所示。有限元熱變形圖是在絲杠螺母處給定攝氏溫度60 ℃，仿真時間為20min的結(jié)果。從圖9上能明顯看出工作臺兩側(cè)發(fā)生翹曲，與試驗結(jié)果得到的現(xiàn)象相吻合，說明試驗觀察到的現(xiàn)象是可能發(fā)生的。

3  溫度測點選取及熱誤差建模

3.1  最佳溫度測點的選取

對7個溫度變量進行系統(tǒng)聚類分析，采用最短距離法，平方Euclidean距離，計算出兩兩變量的近似矩陣，如表1所示。

根據(jù)計算的近似系數(shù)，按圖1流程得到圖10所示聚類樹，縱坐標是變量個數(shù)，橫坐標聚合指數(shù)是將實際的距離按照比例調(diào)整到0~25的范圍內(nèi)。7個溫度變量按照四類進行選取，從每一類中選取一個變量得到T1、T5、T7、T2四個為基本待選變量。

方程復相關(guān)系數(shù)R = 87%，各變量因子顯著水平遠小于0.05，說明各自變量與因變量線性相關(guān)程度顯著，由此選取和熱誤差有顯著關(guān)系的溫度變量為T1和T2。

3.2  差分方程階次的確定

確定方程階次是采用從1 階逐次遞增，同時考察模型預測值與測量值殘差平方和的大小來確定，當增加階次殘差平方和變化不明顯時，采用此時階次值。根據(jù)上面方法并考慮運算簡單性，確定差分方程為二階

由于工作臺兩側(cè)和中間的變形量不一樣，因此需要3個模型分別對工作臺左側(cè)、中間和右側(cè)熱誤差進行預測。如果工作臺左右兩側(cè)熱誤差相差很小，可以共用1個模型進行預測。

3.3  參數(shù)模型實時辨識

確定熱誤差模型結(jié)構(gòu)后，采用粒子群優(yōu)化算法對模型參數(shù)進行辨識。對熱誤差模型參數(shù)辨識并不是每個反饋周期都進行，而是當模型輸出值和熱誤差反饋值殘差超過一定范圍時，再啟動辨識算法對模型參數(shù)進行辨識更新。辨識的輸入數(shù)據(jù)為最近的10次采樣數(shù)據(jù)，使熱誤差模型始終反映機床最新的工作狀態(tài)。

3.4  擬合模型的建立

設(shè)EL(t)，EM(t)，ER(t)分別為工作臺左側(cè)、中間和右側(cè)在t 時刻的熱誤差模型預測值，為對工作臺左半部分行熱誤差預測，利用EL(t)和EM(t)進行直線擬合得到擬合公式(6)，由于不同時刻EL(t)和EM(t)取值不同，所以a和b是時變系數(shù)

式中，
x為工作臺位置，
a、b為線性方程系數(shù)。
利用式(6)可以對工作臺左側(cè)部分，進行任意位置的縱向熱誤差預測。同理可以建立工作臺右側(cè)部分的線性預測模型。

4  熱誤差建模結(jié)果及分析

4.1  單點模型建模結(jié)果及分析

由于工作臺中間熱誤差模型和兩側(cè)熱誤差模型結(jié)構(gòu)形式相同，辨識算法也一樣，在此只給出工作臺左側(cè)熱誤差模型驗證結(jié)果。采用粒子群優(yōu)化參數(shù)辨識工作臺左側(cè)模型參數(shù)，辨識結(jié)果如圖11所示。

通過圖11看出，在第一個升溫階段模型預測值與測量值符合較好殘差很小，因為此階段工況單一，熱誤差模型能夠進行較好的預測；當溫度開始下降時，在第38個采樣時刻出現(xiàn)一次波動，說明熱誤差模型參數(shù)和機床狀態(tài)不匹配，殘差超出限定值需要更新模型參數(shù)，更新模型參數(shù)后直到下一個升溫過程，預測值效果良好，殘差值較小。在第68個采樣時刻殘差又出現(xiàn)一次波動，模型進行參數(shù)更新，使熱誤差模型隨著機床熱狀態(tài)的變化而實時調(diào)整。說明該算法有一定的自適應(yīng)能力，能夠根據(jù)殘差的變化實時更新模型參數(shù)，模型預測結(jié)果如表2所示。

4.2  分段擬合模型驗證及分析

通過上述辨識過程得到工作臺中間和兩側(cè)的單點熱誤差模型，要對工作臺整體范圍進行熱誤差補償，還需要進一步對熱誤差模型進行擴展，因為上述熱誤差模型只是描述工作臺三個位置的熱誤差狀態(tài)。為了對整個臺面的熱誤差進行補償，對每一時刻預測值得到的左、中和右三個數(shù)值進行分段擬合得到擬合公式，在補償時由分段擬合公式得到工作臺任意位置的熱誤差量，這樣就可以做到對整個工作臺的任意位置進行補償。為驗證這一過程，在工作臺中間傳感器和最左端傳感器中間處再放置一個位移傳感器，用來測量該位置的熱誤差值作為驗證值。預測模型采用最左端和中間熱誤差模型的預測值做直線擬合，然后根據(jù)得到的直線模型對中間點進行預測。直線分段擬合模型預測值與測量值進行比較，結(jié)果如圖12所示，殘差指標如表3所示。

從圖12和表3看出，采用兩點直線擬合公式對中間熱進行預測，效果良好，采用直線分段擬合方法能夠?qū)崿F(xiàn)對工作臺任意位置的縱向熱誤差精確預測。根據(jù)此原理很容易建立工作臺右側(cè)部分的直線分段擬合模型。

5  結(jié)論